গণিত শিক্ষায় ক্যালকুলাস দ্বারা প্রাথমিক গাণিতিক বিশ্লেষণের পাঠ্যক্রমকে বোঝায়, যা মূলত ফাংশন এবং লিমিট অধ্যয়নের জন্য নিবেদিত। ক্যালকুলাস (বহুবচনে ক্যালকুলাই) শব্দটি লাতিন ভাষা থেকে এসেছে এবং এর অর্থ “নুড়িপাথর”।
আধুনিক ক্যালকুলাস ১৭শ শতাব্দীতে ইউরোপে আইজাক নিউটন এবং গটফ্রিড ভিলহেল্ম লাইবনিৎস (একে অপরের সাথে আলাদাভাবে, তবে একই সময়ে প্রকাশিত) কর্তৃক বিকশিত হয়েছে তবে এর উপাদানগুলি প্রাচীন গ্রিসে, এরপর চীনে, এরপর মধ্যপ্রাচ্য এবং পুনরায় মধ্যযুগীয় ইউরোপ ও ভারতে আবির্ভাব হয়েছিল।
প্রাচীন:
আর্কিমিডিস পরাবৃত্ত দ্বারা আবৃত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য নি:শেষ পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন।
প্রাচীন আমলে কিছু ধারণা প্রবর্তিত হয়েছিল যা সমাকলন ক্যালকুলাসের দিকে পরিচালিত হলেও এই ধারণাগুলি যথাযথ এবং রীতিবদ্ধ পদ্ধতিতে বিকশিত হয়নি। আয়তন এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় হলো সমাকলন ক্যালকুলাসের একটি লক্ষ্য, যা মিশরীয় মস্কোর পাপিরাসগুলিতে (১৩তম রাজবংশ, আনু. ১৮২০ খ্রিষ্টপূর্ব) পাওয়া গিয়েছে; তবে সূত্রগুলি কেবল সাধারণ নির্দেশাবলী, পদ্ধতি সম্পর্কে কোনো ইঙ্গিত নেই এবং এগুলির কয়েকটিতে প্রধান উপাদানের ঘাটতি রয়েছে।
গ্রিক গণিতের যুগে ইউডক্সাস (আনু. ৪০৮–৩৫৫ খ্রিষ্টপূর্ব) নিঃশেষ পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন যা ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয়ের ক্ষেত্রে লিমিটের ধারণাকে পূর্বসূরিত করে। আর্কিমিডিস (আনু. ২৮৭–২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) এই ধারণাকে সম্প্রসারিত করে হিউরিস্টিক আবিষ্কার করেছিলেন যা সমাকলন ক্যালকুলাসের পদ্ধতিগুলির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।
পরে খ্রিস্টীয় তৃতীয় শতাব্দীতে চীনের লিউ হুই বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য নিঃশেষ হওয়ার পদ্ধতিটি আবিষ্কার করেছিলেন। খ্রিস্টীয় ৫ম শতাব্দীতে জু চঙঝির পুত্র জু গেঞ্জি একটি পদ্ধতি প্রতিষ্ঠা করেছিলেন যা পরবর্তীকালে গোলকের আয়তন নির্ণয়ের কাভালিরির নীতি হিসেবে পরিচিত হয়েছিল।
মধ্যযুগীয়:
মধ্যপ্রাচ্যে হাসান ইবনে আল-হাইসাম, লাতিন ভাষায় আল-হাইজেন (আনু. ৯৬৫ – আনু. ১০৪০ খ্রিষ্টাব্দ) চতুর্থ ঘাতের ফাংশনের যোগফলের সূত্র তৈরি করেছিলেন। এই যোগফলকে তিনি প্যারাবলোইডের ক্ষেত্রফল গণনার জন্য ব্যবহার করেছিলেন, যা বর্তমানে ওই ফাংশনের সমাকলন হিসেবে পরিচিত হয়েছে।
চতুর্দশ শতাব্দীতে ভারতীয় গণিতবিদগণ কিছু ত্রিকোণমিতিক ফাংশনে প্রযোজ্য, আন্তরকলনের অনুরূপ একটি যথাযথ পদ্ধতি দিয়েছেন। সঙ্গমগ্রমার মাধব এবং কেরালা স্কুল অব অ্যাস্ট্রোনমি অ্যান্ড ম্যাথমেটিক্স ক্যালকুলাসের বিষয়বস্তু বর্ণনা করেছিলেন। এই বিষয়বস্তু সংবলিত একটি সম্পূর্ণ তত্ত্ব বর্তমানে পশ্চিমা বিশ্বে টেলর ধারা হিসাবে পরিচিত। তবে তারা “পৃথক পৃথক ধারণাগুলিকে অন্তরজ এবং সমাকলনের অধীনে এনে উভয়ের মধ্যে সংযোগ প্রদর্শন করতে এবং বর্তমানে সমস্যা সমাধানের দুর্দান্ত সরঞ্জাম ক্যালকুলাসে পরিণত করতে সক্ষম ছিল না”।
আধুনিক
ইউরোপে, বোনাভেনতুরা কাভালিয়েরির লেখা একটি গ্রন্থ ছিল মূল ভিত্তি, যেখানে তিনি যুক্তি দিয়েছিল যে আয়তন এবং ক্ষেত্রফলকে প্রস্থচ্ছদের ক্ষুদ্রতম খন্ডের আয়তন এবং ক্ষেত্রফল গণনা করে যোগ করার মাধ্যমে নির্ণয় করা উচিত। পদ্ধতিগুলি আর্কিমিডিসের মত ছিল, তবে এই গ্রন্থটি ১৩তম শতাব্দীতে হারিয়ে গেছে বলে মনে করা হয় এবং এটি কেবল বিংশ শতাব্দীর প্রথম দিকে আবিষ্কার করা হয়েছিল, এবং তাই কাভালিয়েরির কাছে এই বিষয়টি অজানা ছিল। কাভালিয়েরির কাজটি ভালভাবে গুরুত্ব দেওয়া হয়নি কারণ তার পদ্ধতিগুলি দ্বারা ভুল ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা থাকে, এবং তিনি যে অনীয়ান পরিমাণগুলি প্রবর্তন করেছিলেন তা প্রথমে বিতর্কযোগ্য ছিল।
প্রায় একই সময়ে ইউরোপে ক্যালকুলাসের আনুষ্ঠানিক অধ্যয়ন সসীম পার্থক্যের ক্যালকুলাসের সাথে কাভালিয়েরির অনীয়ানকে একত্রিত করেছিল। পিয়ের দ্য ফের্মা দাবি করেছিলেন যে তিনি দাওফান্তাসের কাছ থেকে নিয়ে পর্যাপ্ততার ধারণাটি চালু করেছিলেন, যা সাম্যকে একটি অনীয়ান ত্রুটি শর্ত পর্যন্ত উপস্থাপন করেছিল। সংমিশ্রণটি জন ওয়ালিস, আইজাক ব্যারো এবং জেমস গ্রেগরি অর্জন করেছিলেন, পরবর্তী দুইজন ১৬৭০ সালের দিকে ক্যালকুলাসের দ্বিতীয় মৌলিক উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন।
আইজাক নিউটন তার গতি এবং মহাকর্ষ সূত্রে ক্যালকুলাস ব্যবহার করেছিলেন।
আইজাক নিউটন গুণন বিধি এবং চেইন বিধি, উচ্চতর অন্তরজ এবং টেলর ধারার ধারণাগুলি এবং বিশ্লেষণমূলক অপেক্ষক গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োগ করেছিলেন। নিউটন তার রচনাগুলিতে তাত্পর্যকে সেই সময়ের গাণিতিক ইডিয়মের সাথে সামঞ্জস্য রেখে পুনর্বিবেচনা করেছিলেন, গণনার পরিবর্তে অসীম যুক্তির দ্বারা সমতুল্য জ্যামিতিক যুক্তি দিয়ে গণনা প্রতিস্থাপন করেছেন যা নিন্দনের বাইরেও বিবেচিত হয়েছিল। তিনি গ্রহের গতি, ঘূর্ণনশীল তরলের পৃষ্ঠের আকৃতি, পৃথিবীর তির্যকতা, একটি সাইক্লয়েডের উপরে ওজনের সরে যাওয়া এবং তার প্রিন্সিপিয়া ম্যাথেমেটিকায় (১৬৮৭) আলোচিত আরও অনেক সমস্যা সমাধানের জন্য ক্যালকুলাসের পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করেছিলেন। অন্য কাজের মধ্যে, তিনি ভগ্নাংশ এবংঅযৌক্তিক ঘাতের ফাংশনের জন্য সিরিজ বিস্তৃতি গড়ে তুলেছিলেন এবং এটি স্পষ্ট যে তিনি টেলর ধারার নীতিগুলি বুঝতে পেরেছিলেন। তিনি এই সমস্ত আবিষ্কার প্রকাশ করেন নি, এবং ঐ সময়ে অনীয়ান পদ্ধতিগুলি তখনও অপ্রয়োজনীয় বলে বিবেচিত হয়েছিল।
গটফ্রিড ভিলহেল্ম লাইবনিৎসই সর্বপ্রথম ক্যালকুলাসের সুত্রসমুহ ব্যাখ্যা করেছিলেন।
নিউটন কর্তৃক প্লেজারিজমের অভিযোগে অভিযুক্ত গটফ্রিড ভিলহেল্ম লাইবনিৎস এই ধারণাগুলিকে অনীয়ানের সত্যিকার ক্যালকুলাসে সাজিয়েছিলেন। তিনি এখন ক্যালকুলাসের একজন স্বাধীন উদ্ভাবক এবং অবদানকারী হিসাবে বিবেচিত। তাঁর অবদান হলো অসীম পরিমাণের সাথে কাজ করার জন্য দ্বিতীয় এবং উচ্চতর ডেরাইভেটিভগুলির গণনা করার অনুমতি দেওয়া এবং তাদের বিভেদযুক্ত এবং অবিচ্ছেদ্য রূপগুলিতে পণ্য বিধি এবং শৃঙ্খলা বিধি সরবরাহ করার জন্য একটি স্পষ্ট নিয়ম সরবরাহ করা। নিউটনের বিপরীতে, লাইবানিজ আনুষ্ঠানিকতার প্রতি প্রচুর মনোযোগ দিয়েছিলেন, প্রায়শই ধারণার জন্য উপযুক্ত প্রতীক নির্ধারণে দিন কাটাতেন।
বর্তমানে লাইবনিৎস এবং নিউটন উভয়কেই স্বতন্ত্রভাবে ক্যালকুলাসের আবিষ্কার এবং বিকাশের জন্য কৃতিত্ব প্রদান করা হয়। নিউটন সর্বপ্রথম সাধারণ পদার্থবিজ্ঞানে ক্যালকুলাস প্রয়োগ করেছিলেন এবং লাইবনিৎস বর্তমানে ক্যালকুলাসে ব্যবহৃত অনেক নোটেশন বিকশিত করেছিলেন। নিউটন এবং লাইবনিৎস উভয়ই যে প্রাথমিক ধারণা দিয়েছিলেন তা হলো অন্তরকলন ও সমাকলনের সূত্র, দ্বিতীয় এবং উচ্চতর অন্তরজ এবং একটি প্রায় বহুপদী ধারার ধারণা। নিউটনের সময়ে ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি জানা ছিল।
নিউটন এবং লাইবনিৎস যখন প্রথম তাদের ফলাফল প্রকাশ করেছিলেন, তখন কোন গণিতবিদ (এবং কোন দেশ) কৃতিত্ব পাওয়ার যোগ্য তা নিয়ে প্রচণ্ড বিবাদ সৃষ্টি হয়েছিল। প্রথমে নিউটন সমাধান বের করেছিলেন (যা পরে তার মেথড অব ফ্লাক্সে প্রকাশিত হয়েছিল), তবে লাইবনিজ তার “নোভা মেথডাস প্রো ম্যাক্সিমিস এট মিনিমিস” আগে প্রকাশ করেছিলেন। নিউটন দাবি করেছিলেন যে লাইবনিৎস তার অপ্রকাশিত নোট থেকে ধারণা চুরি করেছেন, যা নিউটন রয়্যাল সোসাইটির কয়েকজন সদস্যের সাথে শেয়ার করেছেন। এই বিবাদটি বহু বছর ধরে মহাদেশীয় ইউরোপীয় গণিতবিদদের থেকে ইংরেজীভাষী গণিতবিদদের বিভক্ত করে দিয়েছিলো, যা ইংরেজি গণিতের ক্ষতিসাধন করেছিল। লাইবনিৎস এবং নিউটনের কাগজগুলি যত্ন সহকারে পরীক্ষা করে দেখা যায় যে তারা স্বাধীনভাবে তাদের ফলাফলে এসেছিলেন। লাইবনিৎস সমাকলন এবং নিউটন অন্তরকলন দিয়ে প্রথমে শুরু করেছিলেন। যদিও লাইবনিৎস এই নতুন শৃঙ্খলাটির নামকরণ করেছিলেন। নিউটন তাঁর ক্যালকুলাসকে “প্রবাহের বিজ্ঞান” বলেছিলেন।
লাইবানিৎস এবং নিউটনের সময় থেকে অনেক গণিতবিদ ক্যালকুলাসের অব্যাহত বিকাশে অবদান রেখেছেন। মারিয়া গায়তানা অগ্নেসি ১৭৪৮ সালে অনীয়ান এবং সমাকলন ক্যালকুলাস উভয়ের উপর প্রথম সবচেয়ে সম্পূর্ণ রচনা লিখেছিলেন।
রাবেয়া আলম
ইন্সট্রাক্টর